מיקום המאמר: 1. תושבע, מאמרים ומחקרים, נושאים שונים סוגיות הלכתיות <-- ביצוע ע"י ענת 27.07.05 --> כמה מרובע יתר על העיגול רביע / פרופ' עמוס ארליך
כמה מרובע יתר על העיגול רביע

פרופ' עמוס ארליך

החוג להוראת המדעים, אוניברסיטת תל-אביב
מתפרסם לראשונה באתר דעת * תשס"ה * 2005




הקדמה
מאמר טוב כולל, בדרך כלל, רעיון מרכזי אחד. מאמרנו הנוכחי אינו ממלא דרישה זאת. המאמר מפרט הוכחה מתימטית המופיעה בתוספות במסכת עירובין, מציע סיבה להופעתה של ההוכחה שם, מעלה הוכחה חלופית, מגלה משפטון חדש, מכיל קושיה על התוספות במסכת סוכה, נותן גירסה מודרנית לשתי ההוכחות, מציע ישום הוראתי של הוכחות אלה ומסיים בדיון כללי על תפקידה של הוכחה. ניתן להצדיק עירבוב נושאים זה בנקודת המוצא המשותפת להם. הרשוני להוסיף נימוק אנושי: "ככה אנחנו".

גיאומטריה בעירובין נו:
במשנה, מסכת אהלות פרק יב משנה ו, נאמר "שהמרובע יתר על העיגול רביע". מההקשר אשר שם ברור שמדובר ביחס ההיקפים שבין ריבוע ובין המעגל החסום בו, לכן תרגומם של הדברים ללשון ימינו הוא: היקפו של ריבוע גדול מהיקף המעגל החסום בו ברבע של היקף הריבוע. זה מבטא את ההנחה, המשמשת כהנחת-עבודה חישובית לאורך כל התלמוד. קטע זה מן המשנה מצוטט בגמרא במקומות רבים. במאמרנו נעסוק באחד מהם ובאחת ההערות נתייחס גם למקום נוסף.

במסכת עירובין, דף נו עמוד ב, מצוטטת משנתנו בדיון העוסק בשטחיהם של המגרשים ושל השדות והכרמים שסביב ערי הלויים, ובתוספות שם מסביר ר"י (ר' יצחק הזקן מדנפיר) שאותו רביע הוא "בין בהיקף בין בגוף הקרקע".
מכיוון שהגמרא במסכת עירובין סומכת את טענתה בדבר יחס השטחים על המשנה במסכת אהלות, המדברת על יחס ההיקפים, רואה ר"י צורך להראות שהטענה על יחס השטחים נובעת מהטענה על יחס ההיקפים.

הוכחתו של ר"י שונה מן הדרך המקובלת שבה אנו מוכיחים בבתי הספר את המשפט על שטח עיגול, לכן נפרט אותה כאן. (לשוני שבין ההוכחות יהיה, בהמשך דיוננו, תפקיד נוסף.) הנוסח שאכתוב כאן שומר רק על המאפיין העיקרי (לטעמי) של הוכחתו. בשונה מנוסחו של ר"י אדבר על עיגול שקוטרו 2R ולאו דווקא טפח אחד, ואכתוב במקום 3.

ובכן, נקיף את מרכז העיגול במעגלים עשויים חוט דק באופן שיכסו את שטח העיגול (ציור א), נחתוך אותם לאורכו של רדיוס אחד (הרדיוס הלבן שבציור), וניישר את החוטים (ציור ב). הגובה המסומן בציור ב הוא הרדיוס שבהמשך רדיוס החיתוך שבציור א. יישור החוטים נעשה באופן שהנקודות שעל הרדיוס הזה תישארנה במקומן והחוטים ישארו ניצבים לרדיוס זה. כך מתקבל משולש שבסיסו וגובהו R, לכן שטחו הוא .


ציור א:

ציור ב:


הערה א: ר"י אינו מסביר מנין לו שאחרי ישור המעגלים יוצרים קצות החוטים שוקיים ישרות. הדבר יכול להתקבל מזה שההיקפים של מעגלי החוטים פרופורציוניים לרדיוסיהם, לכן אורכי החוטים הישרים פרופורציוניים למרחקיהם מהקדקד. אם נכונה השערתי שההוכחה דרושה לר"י רק כדי להבהיר כיצד יכולה הגמרא במסכת עירובין להסתמך על המשנה שבמסכת אהלות למרות שכאן מדובר בשטחים וכאן בהיקפים, אז באמת אינו זקוק להשלמת פרט זה שבהוכחה.

הערה ב: גם במסכת סוכה (דף ח.) מצטטת הגמרא את המשנה שבמסכת אהלות וגם שם מפרטים התוספות את ההוכחה שלעיל, אך שמו של ר"י אינו נזכר שם. אילו היו דברי התוספות שבמסכת סוכה מיוחסים אף הם לר"י היה עלי לבטל את דברי על מניעיו של ר"י בפירוט הוכחתו, בין השאר משום שבדברי התוספות שבמסכת סוכה מודגש ההבדל שבין טענה על ההיקפים וטענה על השטחים ולא הקשר שביניהם, ומודגש ש-"אין ראיה מחוט של היקף כלל". אוסיף ואציין שקשה להבין מדוע נכנסים התוספות שם לנושא השטחים. לפי רש"י עוסקת הגמרא בסוכה בממדי-אורך בלבד, ואיני רואה כיצד ניתן לפרש את הגמרא שם כאילו היא מדברת על שטחים.

הוכחה אחרת
והרי הוכחה אחרת לקשר שבין יחס ההיקפים ובין יחס השטחים של ריבוע ושל העיגול החסום בו. (הוכחה זאת קרובה להוכחה המקובלת בבתי הספר.)
יהי נתון ריבוע ויהי R מחוג המעגל החסום בו (ציור ג). אם נחלק את העיגול למספר רב של גזרות צרות (ציור ד), תהיה כל גזרה קרובה למשולש שוה שוקיים שגובהו R ובסיסו שווה לקשת המתאימה של המעגל, לכן שטח הגיזרה יהיה קרוב לאורך הקשת כפול ב- R/2 . לכן שטח העיגול שווה להיקף המעגל כפול ב- R/2 .
אלכסוני הריבוע מחלקים אותו לארבעה משולשים שוי שוקיים שבסיס כל אחד הוא צלע של הריבוע וגובהו R (ציור ה), לכן שטחו שווה לאורך צלע כפול ב- R/2. לכן גם שטח הריבוע שווה להיקפו כפול ב- R/2. מכאן שיחס השטחים של המעגל והריבוע שווה ליחס היקפיהם.




ציור ג: ציור ד: ציור ה:


ניתן להכליל ולסכם כך: אם מצולע חוסם מעגל (ציור ו) אז יחס שטחיהם כיחס היקפיהם; כי שניהם ניתנים לחלוקה למשולשים, או לגזרות קרובות למשולשים, שגובהיהם שווים לרדיוס ובסיסיהם יוצרים את ההיקף.

ציור ו:

נראה לי שדרך זו מבהירה את המעבר מהיקפים לשטחים בדרך יותר ישירה מזו של ר"י, ואולי היא מסבירה מדוע נראה קשר זה ברור מאליו הן לרש"י והן לבר אדא משוחאה (בר-אדא מודד הקרקעות, המצוטט בגמרא על ידי רבא).

נוסח מודרני
ר"י רואה את שטח העיגול כסכום שטחי טבעות. שטח כל טבעת הוא , וזה מוביל אל חישוב שטח המעגל על-ידי אינטגרציה dr כך:


הוכחתנו השניה רואה את שטח העיגול כסכום שטחי גזרות. לגזרה שזוויתה מתאימה קשת ושטחה הוא . זה מוביל אל חישוב שטח המעגל על-ידי אינטגרציה כך:


יישום להוראה
לכאורה נראה שהדרך הפשוטה לחישוב שטח עיגול היא חישוב מחציתו על ידי האינטגרל
אך קשה לחשב אינטגרל זה.
ההכרזה "הפתרון נמצא בתוספות במסכת עירובין" (או במסכת סוכה) תשמש מניע מעניין למעבר אל האינטגרל הראשון שלעיל. חשיבותו הלימודית של אינטגרל זה היא ביציאה אל מעבר לצמידות לאינטגרלים dx .

על תפקידי ההוכחה
תפקידה המוצהר של הוכחה הוא הבטחת נכונותה של הטענה המוכחת. במאמרנו עלו שני תפקידים נוספים של ההוכחות. התפקיד האחד הוא יצירת קשרים בין המשפטים השונים. כאמור לעיל זהו, להשערתי, התפקיד שבשבילו העלה ר"י את הוכחתו על דבר שטח העיגול. תפקיד נוסף: ההבנה העולה בעקבות הוכחה מביאה למציאתם של משפטים חדשים. כך הביאה הוכחתנו השניה אל המשפט הכללי על שטחי מצולעים החוסמים מעגל.